Un repère est doté de 3 vecteurs et d'un point origine. Comme il n'y a pas de nécessité impérieuse ici de se compliquer la vie, les 3 vecteurs de nos repères sont unitaires, orthogonaux et "DROITIERS".
La conséquence capitale de cette simplification (si l'on peut dire car elle n'enlève rien à nos capacités de représenter les objets) est qu'il existe toujours une série de rotations qui permette de passer d'un repère à un autre. Nous allons en voir l'avantage immédiatement en "passant" d'un repère à un autre.
Posons le problème :
Nous disposons de 2 repères :
- 3 vecteurs unitaires orthogonaux X,Y,Z et une origine C
- 3 vecteurs unitaires orthogonaux U,V,W et une origine D
Le second repère est connu dans le 1er c'est à dire qu'on connait les triplets (Ux,Uy,Uz), (Vx,Vy,Vz) et (Wx,Wy,Wz) tels que :
U = Ux*X + Uy*Y + Uz*Z
V = Vx*X + Vy*Y + Vz*Z
W = Wx*X + Wy*Y + Wz*Z
et on connait la position de l'origine du second repère dans le 1er :
(Dx,Dy,Dz).
Le second repère figure par exemple celui dans lequel est décrit le train d'atterrissage d'un avion alors que le corps de l'engin est représenté dans le 1er.
Le problème est alors le suivant : un point P est connu dans le second repère, quelles sont ces coordonnées dans le 1er ?
Pour trouver la solution, il suffit d'écrire la signification des coordonnées du point P :
DP = DC + CP = Px*U + Py*V + Pz*W
or DC est l'opposé des coordonnées du point D dans le 1er repère et CP les coordonnées du point P par rapport à l'origine C du 1er repère.
Il nous suffit d'exprimer CP en fonction des 3 vecteurs X,Y,Z pour trouver la solution recherchée. Pour cela, on remplace U,V et W par leurs valeurs en fonction de X,Y,Z :
CP = Px*(Ux*X + Uy*Y + Uz*Z) +
Py*(Vx*X + Vy*Y + Vz*Z) +
Pz*(Wx*X + Wy*Y + Wz*Z) + CD
et en factorisant cela donne :
CP = (Px*Ux + Py*Vx + Pz*Wx)*X +
(Px*Uy + Py*Vy + Pz*Wy)*Y +
(Px*Uz + Py*Vz + Pz*Wz)*Z + CD
Et cela se met très bien sous la forme du produit d'un vecteur par une matrice :
| |
| Ux Vx Wx |
CP = | Uy Vy Wy | * P + CD
| Uz Vz Wz |
| |
En conclusion, trouver la position d'un point connu dans un repère relatif (c'est bien le cas du second repère par rapport au premier) nécessite le produit d'une matrice et d'un vecteur et l'addition des composantes de l'origine du second repère.
Cette matrice si particulière, composée des coordonnées des vecteurs du second repère exprimées dans le 1er s'appelle une matrice de passage.
Pour finir ce tour d'horizon de la rotation, je voudrais finir avec un problème de pur calcul.