CONVENTIONS ET NOTATIONS

Dans ce message, on se limite a des objets indéformables composés de polygones plans. Par conséquent, chaque objet est complètement défini par les sommets des polygones qui le composent. On parlera des points de l'objet.

Pour clarifier les notations, je note les points et vecteurs "à plat" et par des lettres majuscules, comme ceci : P = (0,0,0). Je note les matrices entre crochets comme ceci : [T]. Le produits de matrices (ou de n'importe-quoi sauf ambiguité) est noté par une *, le produit scalaire par un . et il n'y a pas de produit vectoriel.

En ce qui concerne le sens des angles et l'orientation du repère, j'ai considéré un repère "DROITIER", à savoir que :

• une rotation d'un angle positif fait tourner un point dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. C'est le sens traditionnel en mathématiques.
• si on se figure le repère avec les 3 doigts de la main DROITE, le pouce figure l'axe des x, l'ongle vers les x croissants; l'index l'axe des y (l'ongle vers les y croissants) et le majeur l'axe des z (l'ongle vers les z croissants).

Ce n'est qu'une question de convention, et il se trouve des gens pour utiliser un repère gaucher. C'est le cas de Cédric (Rixed) Cellier par exemple dans son article du Reporter n°5.

Si vous trouvez des différences entre les formules de ce message et celles que vous connaissez déjà, pas de panique, ce n'est peut-être qu'une divergence sur le repère choisi ...

On trouve même des confusions dans la littérature sur ce sujet, il faut donc être prudent.

Enfin je ne me suis pas trop embarrassé de rigueur mathématique (j'ajoute des vecteurs à des points sans que ça me fasse peur ...).

Il y a en gros 3 façons de représenter une rotation générale :

1. les matrices de rotation 3x3 : les matrices 3x3 permettent de représenter les rotations générales. Elles permettent d'optimiser les calculs, c'est pourquoi je ne traiterais que ce sujet.
2. les matrices généralisées 4x4 : les librairies professionnelles utilisent des matrices 4x4 pour représenter les transformations géométriques. La vitesse de calcul est dégradée mais en contrepartie, il est possible d'inclure la translation (et d'autres transformations comme la projection 3D->2D) dans la matrice. Je n'en parlerais pas dans ce texte car l'objectif est la performance en terme de vitesse au prix d'une restriction au niveau des transformations possibles.
3. les quaternions : c'est une extension des complexes. A ma connaissance, celà ne présente pas d'intérêt en terme de vitesse de calcul ni de "puissance" de la représentation. Je n'en parlerais donc pas ici.

Certains ouvrages traitent des rotations en coordonnées sphériques. Mais avec deux angles seulement, il manque un degré de liberté pour représenter une rotation quelconque. Pour cette raison, je n'en parlerais pas non plus.

Les déplacement des objets 3D peuvent se décomposer en rotations et translations. Dans un simulateur de vol par exemple, les maisons sont translatées lorsque l'avion avance et tournent lorsqu'il vire sur l'aile (l'observateur est dans le cockpit).

Mais avant de passer aux rotations proprement-dites, on va parler brièvement de la translation.